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提醒：本文最后更新于 2024-03-09 11:15，文中所关联的信息可能已发生改变，请知悉！
Exchange of my mathematical experience：）
首先作为本文的篇首，我想先简单的阐述一下我做这篇乃至于之后的一些数学证明的初衷和我对数学这门学科的理解。本人仅仅是一个来自于普通大学的普通数学系学生，相信提到数学这两个字也许很多人一开始的反应就是难，复杂，繁琐，不便于理解，其实我作为一个读了十几年书的学生对于她的理解也是这样，可是为什么偏偏就这门学科带给世人的第一印象就是如此古板的呢？我想从我在数学系学习的这两年的经历来说，我个人认为原因就在于数学是所有学科的基础，而如果一个大学生你不是抱着混吃等死的初衷来结束你的高考迎接你的大学时光，我相信都是想要通过大学的学习乃至于之后更高层次的学习水平来提升你自己的能力，而这条路上你对于自身专业学科的努力学习是必不可少的，众所周知，哲学是所有学科的终点，这样掐头去尾一看，是不是可以感觉出数学像是这条求知路上的起点，而哲学则是你要花费大量时间乃至于终其一生想要到达的终点，那么从起点跑到终点，是不是要比半路开始启程要累的多呢？我想这就是我对于数学为什么难度如此之大的原因之一吧，不过我一直记得我高中数学老师说过的一句话，人只有在累，在想退缩的时候能坚持下来才是在做对于自己有益的事情，这是在走上坡路，而那些简单，易如反掌的事情并不会带给你任何帮助，因为人人都可以做，这是在走下坡路。学习本就是如逆水行舟，不进则退，而正是那些上坡路，才该是我们这些大学生该走的路，我个人喜欢称这个道理叫做上坡路理论，现在倒也还没询问过我高中数学老师的意见，不过我想以那个老头的脾气，应该是不太会在乎的:)
接下来就开始讲一下我本篇小讨论的主题 -----Exchange，就是交换的意思，那交换什么呢？怎么样才可以交换呢? 这就是我下面所作的一系列证明阐述的东西，无论是学过高等数学或者是数学专业的学生抑或是刚刚接触加减乘除运算的小学生，都遇到过交换数学运算符号的理论。小学期间数学老师教过我们，加法和减法是可以交换顺序的，在大学里面老师告诉我们在级数进行求和和求导或者是积分两种运算掺杂在一起的时候满足一定条件就可以交换顺序，这一系列都是在进行交换这一件事情，而本篇我想以一个比较简单的交换来引出我这一个大主题下的交换思想，由于本人目前阶段在学习实变函数，所以可能实变函数中交换的证明占的篇幅比较多，而对于之前无论是数分中级数运算的交换，或者是高代里面矩阵，线性变换的交换法则可能一笔带过了。
下面我将从集合运算与映射运算两种运算之间的交换法则进行我的论述。众所周知，集合运算无非是交并补差四种运算，映射运算有正映射和原相两种之分，下面有四个引理和五个理论来缓缓道来。
首先引入的是关于正映射与原像的单调性引理，这是为了后面证明的简便而写。
之后是两个我想用“花有重开日，人无再少年“来形容的证明：
先说说 COP3 的证明过程吧，简单来说就是对于值域中的子集进行回炉重造的处理，可以看出在一般情况下回炉重造之后的集合变小了，这里我抽象了一下，是不是可以将这个回炉重造的过程看作是动物牛进行反刍的行为，f- 1 就是反刍的前半阶段，f 就是将事物进行再次下咽消化的过程，值域中的子集就是食物的数量，在一般情况下，进行反刍完之后的食物当然变少了，这也就是为什么集合变小的原因呢，而加了 f 是满射的限制之后，就像对食物的每一个组成分子都要求其不能被消化，所以反刍完之后自然是没有变得，这就是在满射条件下，回炉重造之后集合没变的原因。
再着眼与 cop4，是对定义域中的子集进行一来一回的“再加工”，出现了子集变大的结果，这里也可以将这种再加工处理抽象为一夫一妻制与一夫多妻制的区别，在对映射不加任何限制的情况下，就如果一夫多妻制一样，同一个男生，即是 A 女生的丈夫，也是 B 女生的丈夫，更是 C 女生的丈夫，居然还是 D 女生的丈夫，那么抛开中国宪法的约束，作为旁观者的我们，我们对其任意一个妻子进行询问就可以看作是映射 f，而这个男生如果足够老实回答了四个妻子的所有姓名，就可以看作是 f -1，那当然从集合上来看，一个妻子变成了四个妻子，集合进行了再加工之后自然是变大了，而对映射 f 限制了是单射之后，就可以看作是中国宪法对其进行了约束，那自然这个男生只能有一个妻子，无论再怎么问，他只会回答那一个心爱女孩子的名字，自然“再加工”之后的集合还是原来那个集合。
以上是对 cop3andcop4 的一些直观上的解释，但感觉终究是感觉，不能拿到台面上来严格的卡定义说明。可以说，决定一个事物的性质，可以通过数量和质量来决定，而通过这两个引理的证明，我对单射和满射约束有了一些新的理解。我个人认为，对映射是单射的约束，着重对象在于定义域中的子集，它更看重的正映射，而对于原像这一返回来的作用并不是那么起作用，并且更看重的是质量，要求一定要做到 1 对 1，不能一心两用。对于满射，着重对象在于值域中的子集，它更看重原像的集合，并且更强调数量，要求只多不少。更进一步的说，单射与唯一性要求联系紧密，满射与存在性联系紧密。
以上就是对四个引理的证明与体会，接下来就是正文阶段了。
Theory1 描述了集合并运算与正映射的可交换性 
Theory2 描述了集合交运算与原像运算的可交换性 
Theory3 描述了集合并运算与原像运算的可交换性 
Theory4 描述了原像与差运算的可交换性 
Theory5 描述了原像运算与集合补运算的可交换性 
针对这五个证明的自身过程我觉得并没有太多可以讲的地方，无非就是严格的卡定义罢了。但是对于映射，集合以及可交换性这三个概念我倒有点自身的感想。其实映射这个概念呢，真的算是哲学味道最浓的一个概念了，简单来说，映射就像是无法理解的魔术一样，可以硬生生的通过其自身的法则将一个事物转化为另一个事物，就比如说遗传就是一种映射，每个人的身上或多或少的带着来自父母的基因，这就是一种映射，他人可以通过这种映射来大致判断你父母的长相，又比如说人类之间的喜欢也是一种映射，我喜欢一个女生，可能是因为她长的好看，那她的长相和我的审美是一种映射，又或者是因为她的性格和我很像，这又是一种映射。这样看来是不是任何事物之间都有映射关系，这句话就带点哲学中联系观的味道了，万事万物皆有联系，而在数学中我们将这种联系抽象为了映射。那此时此刻我不禁有个疑问，我们人类是生活在三维世界中的生物，希望在四维空间的时间轴上向负方向前进是一种奢望，那在四维空间的时间轴上是不是存在一种降维打击映射和我们三维空间的事物对应呢，如果是一种双射，那是不是更好不过呢？其实还有很多有趣的想法，但是当然，这种想法我个人觉得最多也就是对无聊生活聊以慰藉时想想安慰自己的，要是真有那样的东西存在，也不至于轮到我这个平平无奇的低级数学玩家发现。但是我一直坚信的映射就是“种瓜得瓜，种豆得豆”，以后能得到多少高级快乐的像集，就是由现在能禁得住多少苦头的原像集来决定的，也许未来我能站在数学的山巅，就是因为我兴趣使然地打算开始用文字来记录我的数学经历呢，谁又能知道呢？
一个兴趣使然的低级数学玩家
